Информация

Докладчик

Вводная часть

Актуальность

• Необходимость навыков моделирования реальных математических задач, построение графиков.
• Необходимость изучения математических моделей заражения.
• Весомое значение модели SIS в области изучения распространения заболеваний.

Объект и предмет исследования

• Язык программирования Julia
• Язык моделирования Modelica
• Математическая модель «Susceptible—Infected—Susceptible» — SIS

Цели и задачи

• Изучить математическую модель заражения SIS.
• Используя функционал языка программирования Julia, языка моделирования Modelica, а также интерактивного блокнота Pluto и программного обеспечением OpenModelica, описать модель заражения SIS.
• Сравнить описанную математическую модель с реальными данными о заражении.

Процесс выполнения работы

Теоретическое введение

Определение модели SIS

Модель SIS — математическая модель, описывающая динамику распространения определенной болезни в популяции.

SIS — «Susceptible—Infected—Susceptible» — «Восприимчивый—Инфицированный—Восприимчивый».

Восприимчивые — еще не инфицированные индивиды, которые, однако, могут быть подвержены заражению.

Инфицированные — заразившиеся болезнью индивиды.

Математическое описание модели SIS

Модель описывается следующей системой уравнений:

$$ \frac{dS}{dt} = - \frac{\beta SI}{N} + \gamma I $$

$$ \frac{dI}{dt} = \frac{\beta SI}{N} - \gamma I, $$

где S(t) — численность восприимчивых (susceptible) индивидов в момент времени t, I(t) — численность инфицированных (infected) индивидов в момент времени t, β — коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием, γ — коэффициент интенсивности выздоровления инфицированных индивидов, N — число индивидов в популяции.

Ограничения модели SIS

Для решения нам будут необходимы начальные условия:

S(0), I(0)

Важно также отметить справедливость следующих уравнений:

$$ \frac{dS}{dt} + \frac{dI}{dt} = 0 \ \Rightarrow \ S(t) + I(t) = N $$

Базовый коэффициент воспроизведения

Величина

$$ R_0 = \frac{\beta}{\gamma} $$

называется «базовым коэффициентом воспроизведения» и имеет большую значимость при оценке возможности распространения болезни (чем он больше, тем более болезнь заразна). К примеру, у COVID-19 R₀ = 2.4 − 3.4, у гриппа R₀ = 0.9 − 2.1, у кори R₀ = 12 − 18.

Описание модели и результирующие графики

Pluto.jl

Pluto.jl. Часть 1

Pluto.jl. Часть 2

OpenModelica

OpenModelica. Часть 1

OpenModelica. Часть 2

Анализ реальных данных на основе исследования

Исходный график датафрейма

Результирующий график датафрейма

Сравнение графика модели и графика реальных данных

Результаты

• Изучена математическую модель заражения SIS.
• Описать модель заражения SIS.
• Произведенено сравнение описанной математическую модель с реальными данными о заражении.

Вывод

Математическая модель SIS, являясь одной из самых легковесных моделей распространения заболеваний и не сложной для описания, показала достаточную способность моделировать сценарий распространения гриппа в пределах небольшой популяции и небольшого периода времени. Несомненно, навыки, полученные при изучении и построении модели, пригодятся при работе с более сложными математическими моделями, такими как SIR, SEIR и MSEIR, способными моделировать более сложные сценарии протекания эпидемии.